‘Kötü’ Geometri, Onlarca Yıllık Döşeme Varsayımını Çökertti

Geometrideki en eski ve en basit problemler matematikçileri hazırlıksız yakaladı ve bu ilk kez değil.

Antik çağlardan beri sanatçılar ve geometriciler, şekillerin tüm düzlemi boşluklar veya üst üste binmeler olmadan nasıl döşeyebileceğini merak ettiler. Yine de Rochester Üniversitesi’nden matematikçi Alex Iosevich , “yakın zamanlara kadar pek bir şey bilinmiyordu” dedi .

En belirgin döşemeler tekrar eder: Bir zemini kare, üçgen veya altıgen kopyalarıyla kaplamak kolaydır. 1960’larda matematikçiler, uçağı tamamen kaplayabilen, ancak yalnızca asla tekrarlanmayacak şekillerde garip karo setleri buldular.

New Jersey, Princeton’daki Institute for Advanced Study’de matematikçi olan Rachel Greenfeld , “Bu tür döşemelerin yapısını anlamak istiyorsunuz” dedi . “Daha ne kadar delirebilirler?”

Görünüşe göre oldukça çılgınca.

Bu tür tekrarlanmayan veya periyodik olmayan ilk model, 20.426 farklı karodan oluşan bir sete dayanıyordu. Matematikçiler bu sayıyı aşağı çekip çekemeyeceklerini bilmek istediler. 1970’lerin ortalarına gelindiğinde, Roger Penrose ( kara delikler üzerinde yaptığı çalışmalardan dolayı 2020 Nobel Fizik Ödülü’nü kazanacaktı ), “uçurtma” ve “dart” olarak adlandırılan sadece iki taştan oluşan basit bir setin yeterli olduğunu kanıtladı.

Tekrar etmeyen kalıplar bulmak zor değil. Birçok yinelenen veya periyodik döşeme, yinelenmeyenleri oluşturmak için ince ayar yapılabilir. Diyelim ki bir satranç tahtası gibi hizalanmış sonsuz bir kareler ızgarası düşünün. Her satırı, üstündekinden farklı bir miktarda kaydırılacak şekilde kaydırırsanız, tam döşemeyi yeniden oluşturmak için bir pul gibi kesilip yapıştırılabilecek bir alan asla bulamazsınız.

Gerçek hile, Penrose’unki gibi tüm uçağı kaplayabilen, ancak yalnızca tekrarlanmayan şekillerde kiremit takımları bulmaktır.

İLLÜSTRASYON: MERRILL SHERMAN/QUANTA MAGAZINE

Penrose’un iki karosu şu soruyu gündeme getirdi: Tasarıya uyan, zekice şekillendirilmiş tek bir karo olabilir mi?

Şaşırtıcı bir şekilde, yanıt evet çıkıyor; döşemeyi kaydırmanıza, döndürmenize ve yansıtmanıza izin veriliyorsa ve döşemenin bağlantısı kesilmişse, yani boşlukları var demektir. Bu boşluklar, karonun diğer uygun şekilde döndürülmüş, uygun şekilde yansıtılmış kopyaları tarafından doldurulur ve sonuçta tüm iki boyutlu düzlemi kaplar. Ancak bu şekli döndürmenize izin verilmiyorsa, uçağı boşluk bırakmadan döşemek imkansızdır.

Gerçekten de, birkaç yıl önce , matematikçi Siddhartha Bhattacharya , ne kadar karmaşık veya incelikli bir karo tasarımı bulursanız bulunun, tek bir karonun yalnızca kaydırmalarını veya ötelemelerini kullanabiliyorsanız, o zaman tasarlamanın imkansız olduğunu kanıtladı. tüm düzlemi periyodik olarak değil, periyodik olarak kaplayabilen bir karo.

Matematikçiler, Bhattacharya’nın iki boyutlu sonucunun daha yüksek boyutlu uzaylarda da geçerli olacağını tahmin ettiler. Periyodik olmayan iki boyutlu bir karo olmadığı gibi, uygun bir üç boyutlu bloğun (veya daha karmaşık bir karonun) olmadığını ve keyfi olarak çok sayıda boyutta böyle devam ettiğini varsaydılar.

Bu hipotez, periyodik döşeme varsayımı olarak adlandırıldı.

Kasım ayında yayınlanan bir ön baskıda , Greenfeld, UCLA’dan Terence Tao ile birlikte nihayet varsayımı çözdü – ama matematikçilerin tahmin ettiği şekilde değil. Yüksek boyutlu bir alanı periyodik olarak dolduramayan ancak bunu periyodik olarak yapamayan bir karo inşa ettiler, böylece varsayımı çürüttüler.

Rachel Greenfeld, döşemelerin ne kadar çılgın olabileceğini öğrenmek istiyor. FOTOĞRAF: DAN KOMODA/INSITUTE FOR ADVANCED STUDY

“Bu bir sürprizdi. Girit Üniversitesi’nden matematikçi Mihalis Kolountzakis , varsayımın tüm boyutlarda doğru olmasını bekliyordum” dedi . “Ama sanırım yeterince yüksek boyutlarda sezgi çok uzağa gitmiyor.”

Garip karo, yalnızca geometrik olarak mümkün olan ve olmayanın sınırlarını zorlamasıyla dikkate değer değildir. Aynı zamanda, mantığın sınırları hakkındaki sorular da dahil olmak üzere, geometrinin ötesindeki sorularla yakından bağlantılıdır.

2019’da Greenfeld, doktora sonrası araştırmacı olarak UCLA’ya geldi ve o ve Tao – her ikisi de öteleme döşemeleriyle ilgili başka bir problem üzerinde bağımsız olarak çalıştılar – gözlerini periyodik döşeme varsayımını kanıtlamaya diktiler.

Varsayımın bir ve iki boyutta doğru olduğu zaten bilindiğinden, bunu üç boyutta kanıtlamaya çalıştılar: bir şeklin kopyalarını üç boyutlu uzayın tamamını döşemek için kaydırabiliyorsanız, o zaman bunu yapmanın bir yolu olması gerektiğini göstermek için. alanı periyodik olarak döşeyin.

Farklı teknikler kullanarak varsayımı iki boyutlu olarak yeniden kanıtlayarak biraz ilerleme kaydettiler – üç boyutlu duruma uygulanabileceğini umdular. Ama sonra bir duvara çarptılar. “Bir noktada hayal kırıklığına uğradık ve ‘Tamam, belki de bu varsayımı daha yüksek boyutlarda kanıtlayamamamızın bir nedeni vardır’ dedik. Karşı örnekler aramaya başlamalıyız’” dedi Tao.

İlkinden başlayarak diğer periyodik olmayan yapılar için literatürü taradılar: 1964’te yayınlanan ve çeviriler yoluyla uçağı kaplayabilen, ancak yalnızca periyodik olmayan 20.000’den fazla karo seti. Daha sonra, tek bir periyodik olmayan karo inşa etmek için yeni teknikler geliştirmeye başladılar.

İLLÜSTRASYON: MERRILL SHERMAN/QUANTA MAGAZINE

Ayar değişikliği ile başladılar. Diyelim ki iki boyutlu alanı döşemek istiyorsunuz. Sürekli bir düzlemi döşemeye çalışmak yerine, bir ızgarada düzenlenmiş sonsuz bir nokta dizisi olan iki boyutlu bir kafes düşünün. Artık bir döşemeyi o ızgara üzerinde sonlu bir nokta kümesi olarak tanımlayabilirsiniz; düzgün bir döşemeniz varsa, o sonlu nokta kümesinin kopyalarını yaparak ve onları kaydırarak kafesteki her noktayı tam olarak bir kez kaplayabilirsiniz.

Yüksek boyutlu kafesler için “ayrık” periyodik döşeme varsayımını kanıtlamak, varsayımın sürekli versiyonunu kanıtlamaktan biraz farklı bir problemdir, çünkü kafeslerde mümkün olan ancak sürekli uzayda olmayan döşemeler vardır. Ama akrabalar. Greenfeld ve Tao, daha sonra sürekli durumda da çalışacak şekilde değiştirebilecekleri varsayıma ayrı bir karşı örnek bulmayı planladılar.

2021 yazında, çok yüksek boyutlu bir alanda iki karo bularak yaklaştılar . Fayanslar yaşadıkları alanı doldurabilir, ancak yalnızca periyodik olmayan bir şekilde. Greenfeld, “Bu yeterli değil” dedi. “İki çok yakın, ancak iki karoyla döşemek, tek bir döşemeyle döşemekten çok daha az katı.” Periyodik döşeme varsayımına gerçek bir karşı örnek oluşturmaları bir buçuk yıl daha alacaktı.

Yeni bir dil yaratarak, problemlerini özel bir denklem türü olarak yeniden yazarak başladılar. Bu denklemdeki bilinmeyen “değişken”, yani çözmeleri gereken şey, yüksek boyutlu bir uzayı döşemenin tüm olası yollarını temsil ediyordu. Tao, “Ama olayları tek bir denklemle açıklamak zor,” dedi. “Bazen uzayda gerçekten karmaşık bir kümeyi tanımlamak için birden çok denkleme ihtiyaç duyarsınız.”

Böylece Greenfeld ve Tao, çözmeye çalıştıkları soruyu yeniden çerçevelendirdiler. Bunun yerine, her denklemin çözümünde farklı bir kısıtlamayı kodlayacağı bir denklem sistemi tasarlayabileceklerini fark ettiler. Bu, onların problemlerini birçok farklı kutucukla ilgili bir soruya bölmelerine izin verdi – bu durumda, hepsi aynı öteleme setini kullanarak belirli bir alanı kaplayan karolar.

Örneğin, iki boyutta, her seferinde bir birim yukarı, aşağı, sola veya sağa kaydırarak düzlemi bir kare ile döşeyebilirsiniz. Ancak diğer şekiller de tam olarak aynı kaydırma setini kullanarak düzlemi döşeyebilir: örneğin, bir yapboz parçası gibi sağ kenarına tümsek eklenmiş ve sol kenarından çıkarılmış bir çıkıntı bulunan bir kare.

Bir kareyi, yapboz parçasını ve aynı kaydırma setini kullanan diğer parçaları alıp bir sandviçteki söğüş etler gibi üst üste yığarsanız, üç boyutlu alanı kaplamak için tek bir öteleme seti kullanan bir döşeme oluşturabilirsiniz. Uzay. Greenfeld ve Tao’nun bunu daha birçok boyutta yapması gerekecekti.

Tao, “Zaten yüksek boyutlarda çalıştığımız için, bir boyut daha eklemek bize pek zarar vermedi,” dedi. Bunun yerine, onlara iyi bir çözüm bulmak için ihtiyaç duyacakları ek esnekliği sağladı.

Matematikçiler, tek denklemli, yüksek boyutlu döşeme problemlerini daha düşük boyutlarda bir dizi döşeme denklemi olarak yeniden yazarak bu sandviç oluşturma prosedürünü tersine çevirmeye çalıştılar. Bu denklemler daha sonra yüksek boyutlu karo konstrüksiyonunun nasıl görüneceğini belirleyecekti.

Greenfeld ve Tao denklem sistemlerini bir bilgisayar programı olarak düşündüler: Her kod satırı veya denklem bir komuttur ve komutların birleşimi belirli bir hedefe ulaşan bir program oluşturabilir. Tao, “Mantık devreleri çok temel nesnelerden oluşur, bu VE kapıları ve VEYA kapıları vb. bunların her biri çok ilginç değildir.” “Ama bunları bir araya toplayabilir ve sinüs dalgası çizecek veya internette iletişim kuracak bir devre yapabilirsiniz.”

“Böylece sorunumuzu bir tür programlama sorunu olarak görmeye başladık” diye devam etti. Komutlarının her biri, son döşemelerinin karşılaması gereken farklı bir özellik olacaktır, böylece bir bütün olarak program, tüm kriterlere uyan herhangi bir döşemenin periyodik olmaması gerektiğini garanti eder.

O zaman soru, bunu gerçekleştirmek için tüm bu döşeme denklemlerinde ne tür özellikleri kodlamaları gerektiği haline geldi. Örneğin, sandviçin bir katmanındaki bir karo, yalnızca belirli hareket türlerine izin verecek şekilde şekillendirilebilir. Matematikçiler kısıtlama listelerini dikkatli bir şekilde oluşturmak zorunda kalacaklardı – böylece herhangi bir çözümü engelleyecek kadar kısıtlayıcı olmayacak, ancak tüm periyodik çözümleri dışarıda bırakacak kadar kısıtlayıcı olacaktı.

Greenfeld, “Buradaki oyun, doğru bulmacayı kodlamak için doğru kısıtlama seviyesini oluşturmaktır” dedi.

Greenfeld ve Tao’nun döşeme denklemleriyle programlamayı umdukları yapboz, sonsuz sayıda satırı ve büyük ama sınırlı sayıda sütunu olan bir ızgaraydı. Matematikçiler, her satırı ve köşegeni, döşeme denklemleriyle tanımlayabilecekleri kısıtlama türlerine karşılık gelen belirli rakam dizileriyle doldurmaya çalıştılar: dev bir sudoku bulmacasına benzettikleri bir şey. İkili daha sonra periyodik olmayan diziler buldu; bu, ilgili döşeme denklemleri sisteminin çözümünün de periyodik olmadığı anlamına gelir. Tao, “Temelde bu bulmacanın tek bir çözümü var ve bu neredeyse periyodik olan ama tam olarak periyodik olmayan bu komik şey,” dedi. “Bunu bulmak çok zaman aldı.”

British Columbia Üniversitesi’nden bir matematikçi olan Izabella Łaba , “Neredeyse periyodik olan ancak tam olarak olmayan fonksiyonları çalıştığınız bu tür şeyler, matematikte olan bir şeydir” dedi . “Ama bu, bu tür bir yapıyı kullanmanın çok farklı bir yolu.”

Iosevich’in belirttiği gibi, Greenfeld ve Tao “tamamen basit bir nesne yarattılar ve onu işlerin daha karmaşık göründüğü bir duruma yükselttiler.”

Bunu yaparken, yüksek boyutlu, periyodik olmayan bir döşeme inşa ettiler – önce ayrık ortamda, sonra sürekli olanda. Döşemeleri o kadar karmaşık, o kadar kıvrımlar ve deliklerle dolu ki, alanı zar zor döşer. “İğrenç bir karo,” dedi Tao. “Bu karoyu güzelleştirmek için herhangi bir girişimde bulunmadık.” O ve Greenfeld, içinde yaşadığı uzayın boyutunu hesaplamadılar; sadece çok büyük olduğunu biliyorlar, muhtemelen ₂ 100 ¹⁰⁰ kadar büyük . (Bu sayıyı dünyadaki tüm kitapların sayfalarına yazmaya çalışsaydınız, kağıdınız biterdi.) Greenfeld, “İspatımız yapıcı, yani her şey açık ve hesaplanabilir,” dedi. “Ama optimal olmaktan çok çok uzak olduğu için kontrol etmedik.”

Nitekim matematikçiler, çok daha düşük boyutlarda periyodik olmayan karolar bulabileceklerini düşünüyorlar. Greenfeld, bunun nedeni, yapılarının bazı daha teknik bölümlerinin kavramsal olarak “iki boyutlu olmaya çok yakın” özel alanlarda çalışmayı içermesidir. Üç boyutlu bir karo bulacaklarını düşünmüyor, ancak 4D’nin var olmasının mümkün olduğunu söylüyor.

Ve böylece, dedi Iosevich, sadece periyodik döşeme varsayımını çürütmekle kalmadılar: “Bunu mümkün olan en küçük düşürücü şekilde yaptılar.”

Çalışma, periyodik olmayan karolar inşa etmenin yeni bir yolunu işaret ediyor – Greenfeld ve Tao’nun artık fayansla ilgili diğer varsayımları çürütmek için uygulanabileceğini düşündüğü bir yol. Bu da muhtemelen matematikçilerin karmaşıklığın ortaya çıkabileceği sınırları daha da ileri götürmelerine olanak sağlayacaktır. Tao, “Daha yüksek boyutlu geometrinin sadece iğrenç olduğu gibi, ortaya çıkan bu türden bir ilke var gibi görünüyor” dedi. “Patolojilerin ortaya çıkabileceği ve iki ve üç boyuttan edindiğimiz sezginin yanıltıcı olabileceği.”

Çalışma ayrıca, yalnızca insan sezgisinin sınırlarıyla ilgili değil, matematiksel muhakemenin sınırlarıyla ilgili sorulara da değiniyor. 1930’larda matematikçi Kurt Gödel, temel aritmetiği geliştirmek için yeterli olan herhangi bir mantıksal sistemin eksik olduğunu gösterdi: Bu sistem içinde ne ispatlanabilecek ne de çürütülebilecek önermeler vardır . Görünüşe göre matematik “karar verilemez” ifadelerle dolu.

Benzer bir şekilde, hesaplama açısından karar verilemez problemlerle de doludur – sonlu bir süre içinde herhangi bir algoritma tarafından çözülemeyen problemler. Matematikçiler 1960’larda döşemelerle ilgili problemlerin de kararsız olabileceğini keşfettiler. Yani, bazı şekil kümeleri için, belirli bir alanı döşeyip döşemediklerini sonlu bir süre içinde anlamanın imkansız olduğunu kanıtlayabilirsiniz. (Prensipte bunu yapmanın tek yolu, zamanın sonuna kadar fayansları yan yana döşemenin tüm olası yollarını düşünmek olacaktır.)

Yale Üniversitesi’nden bir matematikçi olan Richard Kenyon , “Bu, belirtmesi çok basit bir problem, ancak yine de matematiğin kapsamının ötesinde,” dedi . “Belirli bir matematiksel teorinin karar verilemez veya eksik olduğu bu durumun ilk örneği değil, ama gerçekten en gerçekçi olanı.”

Geçen yıl, Greenfeld ve Tao, yüksek boyutlu karo çiftleri hakkında genel bir ifadenin karar verilemez olduğunu keşfettiler: Belirli karo çiftlerinin yaşadıkları alanı tamamen kaplayacak şekilde yapılıp yapılmayacağını kimsenin çözemeyeceğini kanıtladılar (periyodik olarak veya periyodik olarak).

Tek bir taşla ilgili bir önerme de kararsız olabilir mi? 1960’lardan beri, periyodik döşeme varsayımı doğru olsaydı, o zaman herhangi bir döşemenin düzlemi kaplayıp kaplayamayacağını belirlemenin her zaman mümkün olacağı biliniyordu.

Ancak bunun tersi mutlaka doğru değildir. Periyodik olmayan bir kutucuğun var olması, kararsız olanın da var olduğu anlamına gelmez.

Greenfeld ve Tao’nun son sonuçları için geliştirdikleri tekniklerden bazılarını kullanarak bundan sonra bulmak istedikleri şey bu. Tao, “Oluşturduğumuz dilin karar verilemez bir bilmece yaratabilmesinin oldukça makul olduğunu düşünüyoruz,” dedi. “Öyleyse uzayı döşediğini veya döşemediğini asla kanıtlayamayacağımız bazı karolar olabilir.”

Bir ifadenin karar verilemez olduğunu kanıtlamak için, matematikçiler tipik olarak bunun zaten kararsız olduğu bilinen başka bir soruya eşdeğer olduğunu gösterirler. Sonuç olarak, bu döşeme sorunu da karar verilemez hale gelirse, diğer bağlamlarda – boşlukların nasıl döşeneceğine ilişkin soruların çok ötesinde bağlamlarda – karar verilemezliği göstermek için bir araç daha işlevi görebilir.

Bu arada, Greenfeld ve Tao’nun sonucu bir tür uyarı görevi görüyor. Iosevich, “Matematikçiler güzel, temiz ifadeleri severler,” dedi. “Ama duyduğunuz her şeye inanmayın… Ne yazık ki, matematikteki tüm ilginç ifadelerin güzel olması ve bizim istediğimiz gibi olması gerektiği bir gerçek değil.”